リスクとリターンの関係

2022 5/9

2021-08-27

コラム

資産運用におけるリスクとリターン｜表裏一体の関係の理解が重要！

進化する資産運用

運用でお金を増やすには期待リターンを設定する

キャッシュフロー表の書き方（見本）

リスク許容度は収益マイナス耐性度

リスクとリターンのイメージ

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【投資信託リスクの種類】リスク分散方法やリターンとの関係を解説！

コラム

投資信託のリスクとリターンの関係

投資信託を含むあらゆる金融商品にはリスクとリターンがあり、リスクが大きくなるほど高いリターン（収益）が期待できます。

その点、投資信託はミドルリスク・ミドルリターンの金融商品であり、リスクとリターンのバランスが取れていることが特徴です。

投資信託のリスクの種類

価格変動リスク

投資信託には株式や債券などが組み込まれており、それらの価格は常に変動を続けます。組み込まれている金融商品の価格が変わると、投資信託の価格も同じように変動します。

為替変動リスク

外国株式や外国債券などの外貨建て資産を組み込んでいる投資信託は、外国為替相場の変動によって円換算での資産価値が変動するリスクがあります。例えば、円高になった場合は円換算での資産価値が下がる要因になり、投資信託の資産価値が低下します。

金利変動リスク

国債などの国内債券や外国債券を組み込んでいる投資信託は、金利変動リスクがあり、金利が変動すると投資信託の資産価値も変動します。一般的に、金利が上昇すると債券価格は下がり、金利が下落すると債券価格は上昇します。

そのため、債券を多めに組み込んでいる投資信託は金利変動リスクが高く、利上げの金融政策が行われると投資信託の価格は下がります。また、満期までの期間が長い投資信託は金利変動の影響を受けやすく、金利の上昇が続くと投資信託の資産価値は低下します。

信用リスク（デフォルトリスク）

企業が発行する株式は信用リスクがあり、企業の業績や財務状況が悪化すると株価は下落します。債券も発行国の財政状態によってはデフォルト（債務不履行）を起こすリスクがあり、デフォルトを起こすと債券価格は暴落します。

流動性リスク

一方で新興国の株式や債券は、市場規模や取引量が少ないため流動性リスクは高く、売りたいときに売れない場合があります。特に下落局面でなかなか売却できないと大きな損失を被り、元本割れを起こすこともあるでしょう。

カントリーリスク

投資対象国の政治や経済などの情勢は、株式や債券の価格形成に大きな影響を与えます。政情が不安定な国はカントリーリスクが高く、政変やクーデターが起こると株式や債券の価格は暴落します。

投資信託のリスク分散（リスクヘッジ）方法｜かかる費用を抑えるには？

分散投資をする

資産の分散

投資をする際は、値動きが異なる複数の金融資産に分散して投資することが大切です。資産を分散して投資をすると、ある金融商品が値下がりをしても他の金融商品の値上がりで穴埋めができ、損失を最小限に抑えられます。

時間の分散

株式や債券、不動産などの金融資産の価格は常に変動しており、時間を分散して投資をすることでリスクヘッジが図れます。ある特定の時期に全額を投資するのではなく、何回かに分けて投資をすることでリスクが軽減します。

ノーロードの商品を購入する

投資信託を購入する際には、通常は販売手数料がかかりますが、販売手数料が無料の「ノーロード投資信託」があります。ノーロード投資信託は投資コストの軽減につながるため、投資家にとってはメリットが大きいです。

投資信託のリスクが怖くて運用を迷っている方は？

そんな方は、ぜひヘッジファンドダイレクトにご相談ください。ヘッジファンドダイレクトでは、お客様が期待リターンやリスクなどの商品の特徴を理解できるよう丁寧にサポートしているので、納得できる資産運用が可能になります。

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リスクはリターンの敵 – リスクとリターンと複利の関係

$A\left(1+\frac{r}{n}\right)\left(1+\frac{r}{n}\right)=A\left(1+\frac{r}{n}\right)^2$

これをさらに一期間、合計二期間あずけたらになります。

これをくりかえして、つごう期間=1年間預けたらになり、これがに等しくなるわけです。

ここで、一期間を極限まで細かくする、つまり、を限りなく大きくしたらがどうなるかを考えます。

を限りなく大きくする…、むかし数学の授業でやりましたね…。

みたいなやつです。私もがんばって思いだしましたよ。

理由は自然対数(ネイピア数) の定義

とおくとでなので

$\lim_{n \to \infty} A\left\{\left(1+\frac{1}{\frac{n}{r}}\right)^\frac{n}{r}\right\}^{r} = \lim_{t \to \infty} A\left\{(1+\frac{1}{t})^t\right\}^{r} = Ae^r$

であり、両辺をで割り、底がの対数を取ると

このが、一瞬の収益率(定期預金の場合は金利)、すなわち、連続複利収益率(定期預金の場合は金利)です。

説明ではを年利としたので、このときのは「年利 %の、連続複利(年利)」になります。

を1ヶ月の金利(収益率)にすればは対応する連続複利(1ヶ月)になるわけです。

連続複利収益率が正規分布だといろいろつじつまがあう

株式を持っていたとき、それが紙くずになる可能性はありますが、追い打ちでお金を要求される事態にはなりませんよね。

連続複利収益率をつかうと複数期間の計算が楽になる

連続複利収益率の概念を使うと、複利を簡単に扱えるようになります。

ここでも、リスクのない年利 %の定期預金で考えます。すると、先に見たように1年後の金額は

$A\left(1+R\right)\left(1+R\right) = A\left(1+R\right)^2$

1年後の金額はなので2年後の金額はです。これを繰り返していくと、年後の金額はになります。

同じことを連続複利収益率で考えると1年後の金額は、なので2年後の金額はです。これを繰り返していくと、年後の金額はになります。

の乗がの倍になったのが、かけ算が足し算になっている部分です。

連続複利収益率が正規分布するということ

連続複利収益率をとすると、リスクはこのの変動によりもたらされ、そのの変動が正規分布に従うということです。

つまり、の分布の平均を、標準偏差を (分散は )とすると、は正規分布に従う確率変数であるということです。

こう書くととても難しく感じるかもしれませんが、リスク資産の毎年のリターンは変動するけど、それは連続複利収益率が正規分布に従って変動した結果である、と考えるといろいろ簡単に考えられる、ということです。

ここで、リスク資産の期待リターンリスクとリターンの関係とリスク=標準偏差 (分散は )と、の正規分布のパラメタの関係を見てみます。ここの関係を理解するのが少々ややこしいのです。イーノさんの記事でも、この部分が難しく苦労したとあり、数式の導出が省かれているところでもあります。

対数正規分布指数の世界と現実の世界を結ぶ道具

対数正規分布は「確率変数の対数をとった値が正規分布に従うような分布を対数正規分布という」と定義されます。

元本円を、年利期待リターンで1年運用した後の金額です。リスク資産ですから、この1年運用後の金額は変動するということ。つまりが確率によって変わる値、確率変数です。

この確率変数の対数を取るとになります。

あれ？どこかで見たことがありますね…そう。連続複利収益率を求めるときに出てきました。

つまり、は確率変数の対数であり、しかも正規分布に従うのです。

ここまでわかったことの合わせ技で、は正規分布に従い、は対数正規分布に従うということがわかります。

$A \times{\bf LN}\left(\mu, \sigma^2\right) = Ae^{{\bf N}\left(\mu, \sigma^2\right)}$

をで表現する式の導出

また対数正規分布に従う確率変数の平均が

分散が

は対数正規分布に従い、結果の平均が、標準偏差が (分散は )であること。

これら三点を利用すると、リスク資産の期待リターン・リスク=標準偏差 (分散は )リスクとリターンの関係と、の正規分布のパラメタを結びつけることができるようになります。

をで表現することを目指すわけです。

これができると、普段よく目にする年率の期待リターン・リスクから、「連続複利収益率が正規分布する」の考えに基づいた運用結果の分布を求めることができるようになります。

対数正規分布に従う確率変数の平均、分散の特徴から

$V(X) = e^{2\mu + \sigma^2}\left(e^{\sigma^2} - 1\right) = s^2$

の両辺を2乗すると

これで について解くことができました。

を代入して

$\mu = \log\left(1 + R\right) - \frac{\log\left(\frac{s^2}{(1+R)^2} + 1\right)}{2}$

これで について解くことができました。

まとめるととの関係は

$\mu = \log\left(1 + R\right) - \frac{\log\left(\frac{s^2}{\left(1+R\right)^2} + 1\right)}{2}$

になります。

リスク資産の複利と分布期待リターンとリスクから分布を求める公式

「連続複利収益率をつかうと複数期間の計算が楽になる」と「連続複利収益率が正規分布するということ」を組み合わせると、リスク資産の複利について考えることができます。

「連続複利収益率をつかうと複数期間の計算が楽になる」では、年後の金額が

これらを組み合わせると年後の結果の分布は

正規分布の倍というのは、独立な正規分布を回足し合せた分布です。

正規分布を足し合せた結果、すなわち、正規分布の和は、正規分布に従い、その平均は元の分布の平均の和、分散も元の分布の和となることが知られています。考えてはいけません。そういうことなのです。

つまり、を正規分布に従う確率変数、を正規分布に従う確率変数としたとき、確率変数は正規分布に従うということです。

これより、正規分布の倍は正規分布

これで、リスク資産の期待リターンとリスクの年率から、年後の運用結果の分布を求めることができるようになりました。

大事な公式なので、再度まとめておきます。

元本円、リスク資産の年率の期待リターン %・リスク %(分散は )を年間運用した結果の分布は

ここで、

$\mu = \log\left(1 + R\right) - \frac{\log\left(\frac{s^2}{(1+R)^2} + 1\right)}{2}$

表計算ソフトでの計算方法とグラフの描き方

Excelなどの表計算ソフトを使うと、対数正規分布の確率密度や、累積確率を簡単に求めることができます。

対数正規分布の関数はLOGNORM.DIST(x, 平均, 標準偏差, 関数形式)です。

平均には、対数正規分布のパラメタの平均、すなわち、連続複利収益率の平均を入力します。年後の分布であればになります。

標準偏差には、対数正規分布のパラメタの標準偏差を入力します。年後の分布であればになります。

これまでの議論では、分散で扱っていましたが、Excelでは標準偏差なので分散の平方根をとって リスクとリターンの関係 になっていることにご注意下さい。

累積確率のグラフを書くと、だいたいどのくらいの確率でいくらになるかを見ることができますが、厳密に計算したい場合は、対数正規分布の累積確率の逆関数LOGNORM.INV(y, 平均, 標準偏差)で計算できます。累積確率の逆関数というのは、累積確率のグラフの縦軸(つまり確率)の値を指定して、対応する横軸の値(つまり金額)を求める関数です。

おわりに、ではなく、これがはじまり

この記事では、連続複利収益率が正規分布正規分布する、という金融工学の考え方をもとに、リスク資産の期待リターンとリスクから、任意の期間後の運用結果の分布を求める式を手に入れることができました。

リスク(標準偏差)や相関係数の資料をエクセルで作成（リスクリターンの意味を具体的に説明）

月次リターンからEXCEL関数で「リターン」「リスク（標準偏差・ボラティリティ）」「共分散」「相関係数」を求める

先進国株式、先進国債券、新興国株式、新興国債券（現地通貨建て）の月次リターンをもとに「年率リターン」「年率リスク（標準偏差・ボラティリティ）」「共分散」「相関係数」を求めます。

リスクリターンデータ

まずは「年率リターン」と「年率リスク（標準偏差・ボラティリティ）」です。

「リスク」「標準偏差」「ボラティリティ」についてはこちらも参照：ボラティリティについての分かりやすくて詳しい説明

年率リターン・リスク

関数の後ろに SQRT(12) とありますが、これはルート12(√12) の意味で月次データを年率に変換するためにルート12を掛けます。

次に「共分散」と「相関係数」です。

共分散と相関係数

ＡとBの共分散＝「Aの標準偏差」×「Bの標準偏差」×「ABの相関係数」

使用したインデックス

先進国株式：MSCIﾜｰﾙﾄﾞｲﾝﾃﾞｯｸｽ(MXWO Index)
先進国債券：Citi World Government Bond Index (CFIIWDUC Index)
新興国株式：MSCIｴﾏｰｼﾞﾝｸﾞ･ﾏｰｹｯﾄ･ｲﾝﾃﾞｯｸｽ(MXEF Index)
新興国債券(現地通貨建て)：JPモルガン･ガバメント･ボンド･インデックス・エマージング･マーケッツ(GBI-EM)グローバル･ディバーシファイド､キャップ15%フロア4.リスクとリターンの関係 5% (GBIE1545 Index)