タイル並べとフィボナッチ数列の関係

入金不要ボーナスをゲット！

タイル並べとフィボナッチ数列の関係

画像：パラドックスの定番として、こんな話がありますよね。
直角三角形をいくつかに分割して並べ替えると……あれ !? 同じ直角三角形のハズなのに！ 面積１のピースが余っちゃうっ！
これはパズル好きな方々はすでに知っている話だろうし、これのカラクリについては特に話すことはないでしょう。でも、この話、実は一般化できるということは知ってますか？

画像：拡大図
★ パラドックスのタネ明かし ★
知らない方々のために解説を。
右図の図形は２つとも同形同大に見えますが、実は違います。
斜辺にあたる線は直線にしか見えないけれど、微妙に折れ曲がっているんですね。
見た目にはわからないほど微妙です。

これ、「フィボナッチ数列」と呼ばれるものです。
まるで、デタラメに数字が並んでいるみたいだけれど、実はちゃんとした法則があるんですね。
隣りあう３つの数を拾ってみると、その３つの数は足し算の関係になっているんです。
たとえば、3，5，8 の場合は 3＋5＝8 だし、34，55，89 の場合は 34＋55＝89 になる。
まぁ、もともとフィボナッチ数列というのは、２個の 1 から始めてそういう“足し算”の関係を満たす
ように新しい数字を次々つけ足してできた数列なんですね。
でも、実はもうひとつ、隠れた法則があるんです。
同じように隣りあう３つの数を拾います。その３つに関しては、足し算の法則以外に次のことも成り
立つんです。
なんと、両端の数の積と真ん中の数の２乗との差が 1 である、というわけですね。
実際にやってみましょう。
たとえば、3，5，8 の場合は 3×8－5^2＝24－25＝－1 ですね。
そして、34，55，89 の場合は 34×89－55^2＝3026－3025＝1 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 となる。
どの隣接３数をとるかによって引き算結果は変わるんだけれど、どっちにしても差は必ず 1 になるわ
けです（普通、「差」といえば大きい数から小さい数を引いた値のことを指しますもんね）。
実を言うと、この法則はすでに証明されていて、「カッシーニ - シムソンの定理」と呼ばれるそうで
す。(画像)

画像：つの数 a, b, c, d（a＜b＜c＜d）を拾って図のような図形をつくったとき、図形内の長方形と正方形の面積は常に 1 だけ違うんです。これは、「ac と b^2 の差は タイル並べとフィボナッチ数列の関係 1 である」という理由によります。

【 注 意 】
フィボナッチ数列では隣りあう３数は足し算の関係にある、ということを思い出しましょう。
a＋b＝c と b＋c＝d が成り立っています。 タイル並べとフィボナッチ数列の関係
ただ、注意しなければいけないのは、ac－b^2＝1 だけでなく ac－b^2＝－1 が成り立つ場合もあると
いうこと。つまり、隣りあう４数 a, b, c, d の選びかたによっては長方形の面積の方が大きい場合も
あるし、逆に正方形の面積の方が大きい場合もあるんです。
ということは、１．や３．で書いたような「あれ？ 面積１のピースが余っちゃった！」という話だ
けでなく、「あれ？ 面積１のピースが足りないぞ !?」なんていう話もつくることができるわけです
ね。ちなみに、１．での話は a＝5, b＝8, c＝13, d＝21 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 の場合・・・

画像：フィボナッチ数列の中の隣りあう３つの数 b, c, d（b＜c＜d）を拾って、一辺を c とする正方形とタテ b ×ヨコ d サイズの長方形をつくる。これで、同じようなパラドックス話を展開することができる。一般的には、フィボナッチ数列の中の隣りあう４つの数 a, b, c, d（a＜b＜c＜d）を拾って図のような正方形と長方形をつくったとき、この２つの面積は常に 1 だけ違うんです。なぜなら、b, c, d はフィボナッチ数列において隣りあう３数だから。「両端の数の積と真ん中の数の２乗との差が 1 である」と書いたけれど、これを適用すれば bd と c^2 の差は タイル並べとフィボナッチ数列の関係 1 になるということが言えるわけですね。
もちろん、同様に、４数 a, b, c, d の選び方によっては bd－c^2＝1 だけでなく bd－c^2＝－1 が成り立つ場合もあります。だから、「あれ、面積１減った！」という話のほかに「あれ、面積１増えた !?」なんていう話もできたりするわけです。

図を見ると、少し濃いめの直角三角形が２つあって斜辺がほとんど同じ傾きになってますよね。
これにも、ちょっとした秘密がありまして。
斜辺の傾き具合というのは、直角を挟む２辺の縦横比によって決まります。
そして、その縦横比が同じであれば、傾きが同じになるんですね。
んで、その濃いめの直角三角形の縦横の長さを見てみると、どれもフィボナッチ数列の中の隣りあう数になっている。実際、１．では、小さい方が 5 と 8、大きい方が 8 と 13 になってますよね。
そして、３．では、小さい方が 13 と 21、大きい方が 21 と 34 になっている。
チョットこれら４つの縦横比をそれぞれ計算してみましょう。

8÷5 ＝ 1.6
13÷8 ＝ 1.625
21÷13 ＝ 1.615384……
34÷21 ＝ 1.619047……

おおぉ！ ずいぶんまた、似たような値が並びましたね。
縦横比がどれも 1：1.61 くらい。
ついでに、フィボナッチ数列の隣りあう２数でいろいろ割り算をしてみましょう。

55÷34 ＝ 1.617647……
89÷55 ＝ 1.618181……
144÷89 ＝ 1.617977……
233÷144 ＝ 1.618055……
377÷233 ＝ 1.618025……
（以下略）

なんと！ 先の４つよりもさらに値が似ているっ！
縦横比が 1：1.618 くらいですね。
もしかしたら、1.618 という数字を見て「ピーン！」ときた方々もいるかもしれません。
そうなんです。この 1：1.618 という比、「黄金比」というものに似ているんです。
この黄金比、フィボナッチ数列との間には関係がひとつありまして。
実は、こんなことが成り立つんです。
(画像)
図において２つとも合同にしか見えない理由は、濃いめの直角三角形の斜辺の傾きを表す縦横比が２つとも酷似しているということなんですね。
ちなみに、「カッシーニ - シムソンの定理」と同様に、この黄金比に関する性質もすでに証明されています。
(画像) 」

おもしろかった～～～単なる目の錯覚を使ったパズルにしかすぎないんだと思ってたわたし. ^^;
だって. 5/13≠8/(13+8)=8/21 だものって.

フィボナッチ数列とは？ 問題に隠れた規則性に気づけるようにしよう

中学入試では、並べられた数字から規則性を見つけ出す問題がよく出題されます。数列で有名なものといえば、等差数列、等比数列、階差数列などですが、ひときわ目立つ名前の数列があります。それがフィボナッチ数列です。名前からして異彩を放っていますが、その性質も神秘に満ちたもので、魅了されてしまった科学者も多くいるほどです。今回は中学受験に向けてフィボナッチ数列にどう対処すべきかを、例題を交えながら解説します。

フィボナッチ数列とは？

1, 1, 2, タイル並べとフィボナッチ数列の関係 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144……

まずは規則性を理解する

差を計算すると、フィボナッチ数列らしき数字が出てきました。フィボナッチ数列は、直前の2つの項の数を足したものが次の項の数になる数列です。そのためこのような結果になるんですね。規則自体はとてもシンプルです。一度でもフィボナッチ数列を見たことがあれば、規則性はすぐに理解できるでしょう。

自分で書いてみると簡単さがわかる

「場合の数の問題」にフィボナッチ数列が現れる

【例題1】 階段の登り方は何通り？

4段目までの登り方は、「2段目まで登ってから4段目に到達する2通り」と「3段目まで登ってから4段目に到達する3通り」があるので、合計5通りです。つまり、4段目までの登り方の「場合の数（5通り）」は、2段目までの登り方の「場合の数（2通り）」と、3段目までの登り方の「場合の数（3通り）」の合計になるのです。まさにフィボナッチ数列のような関係になっています。

6段目までの登り方であれば、図を描いて場合分けをしていけば力わざで解けてしまう場合もあります。しかし、15段目までの登り方を答えさせる問題があったらどうでしょうか？ 答えは、なんと987通り！ フィボナッチ数列であることに気づいていないと、とうてい解くことはできませんね。

【例題2】 タイルの並べ方は何通り？

このとき、「縦2cm×横4cm」の並べ方の「5通り」は、「縦2cm×横2cm」に並べた場合の「2通り」と、「縦2cm×横3cm」に並べた場合の「3通り」を合計したものと同じです。またしても、フィボナッチ数列が見えてきました。

漸化式（フィボナッチ数列）を線形代数（線形空間、固有ベクトル）で解く方法を解説

（\(W:= \mathbb^2\)タイル並べとフィボナッチ数列の関係 とし、\(\varphi : V\to W\)を\(\\mapsto (a_0,a_1)\)によって定めると、\(タイル並べとフィボナッチ数列の関係 \varphi\)は全単射な線形写像、すなわち同型写像です。このとき、\(T_A: W\to W\)を\(Tx=Ax\)により定めると、\(T_A \circ \varphi = \varphi \circ T\)が成立しています。つまり、\(V\)と\(W\)を同一視、すなわち数列の最初の2項のみに注目することで、数列のシフト\(タイル並べとフィボナッチ数列の関係 T\)は行列\(A\)と同一視できるわけです。）

このとき、\(\\>=T(\)= \lambda \\)なので、任意の\(n\)に対して\(b_= \lambda b_n\)が成立しています。これを繰り返し用いれば、\(b_n = \lambda ^n b_1\)なので、固有ベクトルとなる数列の一般項が\(n\)によって表すことができるわけです。

\(T\)の固有ベクトルは、等比数列です。\(T\)の固有ベクトルを基底として\(W\)の元を表すことは、漸化式を満たす数列を等比数列の線形結合として表すことに対応しています。等比数列を定める漸化式は簡単に解けるので、そういう形に帰着させたいですね。

では、\(T\)の固有値・固有ベクトル、すなわち表現行列\(A\)の固有値・固有ベクトルを求めましょう。\(Ax = \lambda x\)を満たすような\(\lambda\)は、固有方程式、または特性方程式

によって求まるのでした。計算してみると、\(\mathrm (A-\lambda E) = \lambda ^2 -\lambda -1\)なので、固有方程式を解けば

です。これに対応する\(T\)の固有ベクトル、\(b_n =(\frac<1\pm \sqrt<5>> )^n b_1\)を満たしています。

まとめ・一般化

漸化式\(a_+b_1 a_+\cdots + b_n a_r =0\)によって定まる数列\(\\)を、最初の\(n\)項によって表したいという問題を考えます。

\[ \begin\lambda ^n + b_1 \lambda^+\cdots + b_ \lambda +b_n =0\end \]

\[ \begina_n = c_1\lambda_1 ^n + c_ 2 \lambda_2 ^n +\cdots + c_n \lambda_n^n\end \]

\(P^ A P =\begin \lambda_1 & 0 & \cdots&0 \\ 0 &\lambda_2& \ddots&\vdots \\ \vdots&\ddots &\ddots& 0 \\ 0& \cdots& 0 & \lambda_n \end \)

と対角行列になるのでした（これを行列\(A\)の対角化という）。対角行列は、その\(n\)乗を簡単に計算できる（対角成分を\(n\)乗した行列になる）性質があります。したがって\(A^n\)が計算できるので、一般項が求められたわけです。

フィボナッチ数列の場合は重複する解を持ちませんでしたが、重複する解を持つ場合でも、工夫すれば一般解を求められます。対角化はできなくとも、\(A^n\)を計算しやすいような形にできれば良いわけです（対角化はできなくても、ブロック対角化はできる）。そのためには、広義固有空間、ジョルダン標準形の考え方が必要です。

また、今回漸化式で議論したことは、線形常微分方程式でも同じように扱えます。

解空間は\(n\)次元、シフト写像\(T\)は微分作用素\(x(t)\mapsto \frac (t)\)、等比数列に対応するのは指数関数\(e^<\lambda t>\)です。特性方程式を使った線形常微分方程式の一般解の求め方は、常微分方程式論の教科書や講義でも扱われます。

これまでの議論は、方程式が線形であるから有効なのでした。調べたい現象を表す漸化式・微分方程式が線形でない、すなわち非線形なときは、今回の議論は通用しません。非線形方程式を解くのは難しいですが、まずは線形方程式を解く方法を知っておくのが、大事な一歩でしょう。

タイル並べとフィボナッチ数列の関係 2

(1)の２通りでした。

㋐ 、㋑

２cm＋２cm
㋒

３cm＋１cm
㋓ 、㋔
というように分類できました。

ところが、このように分類すると、㋑、㋒、㋓がすべて同じ並べ方になっていることに気付きます。全部 に置くのは、どのような足し算で考えてもすべて同じになってしまうからです。以上から3通りが答えとなります。

＜あ＞
4cmを作る方法は（２）で３通りとわかっています。

これに１㎝を加えると、
、 、 の３通りができます。

＜い＞
３㎝は（１）の答えですので、２通りです。
これに、２㎝を加える方法は

、
の２通りがあるのですが、これはどちらもすでに＜あ＞の中に出てきています。

２㎝を足すのは、 ×２の並べ方しかないので、＋１㎝のどの並べ方とも同じになってしまうのです。つまり、＜い＞はかんがえる必要はないということになります。

＜う＞
２㎝をつくる方法は、１通りあり、これに３㎝を足すので、
、 の２通りですが、さきほどとお同じで、×３として付け足すのは、すでに出てきていますので、これは１通りだけです。

以上より、＜あ＞が３通り、＜い＞は考えない、＜う＞は１通りなので、
合計４通り が答えです。

（４）さきほどの問題を、前問との繋がりで処理できれば、これは簡単です。書き出すのは、非常に大変でしょう。
ということで、分類は前問と同じく、
＜あ＞５㎝＋１㎝のパターン
（３）の５通りの答えに＋１㎝ →４通り

フィボナッチ数列｜使い方やメリット・デメリット、使用例を解説

入金不要ボーナスをゲット！

フィボナッチ数列のメリット

メリット１．ルールがシンプル

メリット２．安定的に稼げる

メリット３．賭け金が緩やかに増える

メリット４．数列を自由に設定できる

フィボナッチ数列のデメリット

デメリット１．稼ぎにくい

デメリット２．負けが続いた場合、1度の勝利で損失額をすべて取り戻せるわけではない

オンラインカジノ おすすめ ランキングをチェック！

フィボナッチ数列の使用例

シミュレーション１．5勝5敗の場合

ゲーム回数	賭け金	勝敗	配当	損益
1回目	1ドル	×	0ドル	-1ドル
2回目	1ドル	×	0ドル	-2ドル
3回目	2ドル	×	0ドル	-4ドル
4回目	3ドル	〇	6ドル	-1ドル
5回目	1ドル	〇	2ドル	+1ドル
6回目	1ドル	〇	2ドル	+2ドル
7回目	1ドル	×	0ドル	+1ドル
8回目	1ドル	〇	2ドル	+2ドル
9回目	1ドル	×	0ドル	+1ドル
10回目	1ドル	〇	2ドル	+3ドル

シミュレーション２．1勝9敗の場合

ゲーム回数	賭け金	勝敗	配当	損益
1回目	1ドル	×	0ドル	-1ドル
2回目	1ドル	×	0ドル	-2ドル
3回目	2ドル	×	0ドル	-4ドル
4回目	3ドル	×	0ドル	-7ドル
5回目	5ドル	×	0ドル	-12ドル
6回目	8ドル	×	0ドル	-20ドル
7回目	13ドル	×	0ドル	-33ドル
8回目	21ドル	×	0ドル	-54ドル
9回目	34ドル	×	0ドル	-88ドル
10回目	55ドル	〇	110ドル	-32ドル

フィボナッチ数列 まとめ

関連記事同じ著者から

【初心者向け】オンラインカジノ戦略｜システムベッテ.

【知っておきたい】バカラのカードカウンティングとは.

チャンピオン法｜バスタビットの攻略法について徹底解.

おすすめスロット

ブレイジング ブル キャッシュ クエスト (Blazing Bull Cash Quest)タイル並べとフィボナッチ数列の関係 ｜Kalamba

Kalamba x Megawaysスロット登場

モンスタードミネーション(Monster Domination)タイル並べとフィボナッチ数列の関係 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 ｜ラクジン

ニンジャ・ヒーロー・ゴエモン(Ninja Hero Goemon)｜ラクジン

最新の記事

ビーベット (beebet) 徹底解説｜入金不要30ドルボーナス進呈

【先行配信】Dreamy Genie by Atomic Slot Lab｜カジノシークレット

Folsom Prison（フォルサム・プリズン）スロット｜Nolimit City

Goblins & Gemstones Hit タイル並べとフィボナッチ数列の関係 n Roll (ゴブリンズ＆ジェムストーンズ ヒットnロール)｜Kalamba

コンクエストアドール(Conquestador)徹底解説｜ウェルカムボーナス$2500＋200FS

オンラインカジノレビュー

レオベガス（LeoVegas）徹底解説｜登録ボーナス50回スピン

遊雅堂 (ゆうがどう) カジノ 徹底解説｜登録ボーナス3500円

タイル並べとフィボナッチ数列の関係

カジ旅 徹底解説｜入金ボーナス500ドル＋200スピン【限定】

ボンズカジノ 徹底解説｜Bons Casino｜登録ボーナス$45

ミスティーノ徹底解説｜登録ボーナス10ドル + 60スピン

ゲームガイド

ポーカー｜役の強さ・ルール・勝つコツ等を解説【初心者でも分かる！】

テキサスホールデムの基本ルールを5分で理解！ポーカー攻略ガイド

ブラックジャックのルールを完全攻略｜ゲームの流れや必勝法等について！

入金不要ボーナス

カジノトップ５は、オンラインカジノ初心者の方にもわかりやすく徹底解説！オンラインカジノおすすめランキングや攻略法、当サイト限定の入金不要ボーナス情報、最新キャンペーン情報など幅広くご紹介します。 オンラインカジノは違法？税金はかかる？などの疑問や、オンラインカジノがどのように運営されているかなど、様々な気になるポイントももれなく解説します。 カジノトップ５を通じて、早速オンラインカジノでプレイしてみましょう！

関連記事