フィボナッチ数列の計算量について

2022 1/25

2022-02-20

ビットコインFX4時間足を表示しました。

プログラムの計算量、オーダー表記 O( ) の求め方のまとめ

こんなときに使うのが計算量です。計算量には 時間計算量 と 空間計算量 の2つがあります。
時間計算量は、実行が始まってから実行が終わるまでの命令が実行された回数（ステップ数）を表します。
一方、空間計算量は、アルゴリズムを解くときにどれほどの空間（メモリ）を使うかを表します。
今回は時間計算量だけについて考えたいと思います。
時間がかかったかどうかは入力されたデータ数 $ n $ のときの ステップ数を基準 に性能の良し悪しを決めます。例えば、こんなアルゴリズム（関数）があるとします。

このプログラムは定義(int sum = 0;)で1ステップ、結果(return sum;)フィボナッチ数列の計算量についてで1ステップ、結果の格納でnステップとなり、合計 n+2 ステップとなりますね。
ステップ数ならどの環境で実行した場合でも変わりませんよね。

２．最悪計算量と平均計算量

計算量には、 最悪計算量 と 平均計算量 というものがあります。

(1) 最悪計算量

最悪計算量は、名前の通り最悪な場合、つまり 一番ステップ数が多い条件 の場合を考えるので、上の場合だと、奇数である $ n^ $ ステップの方を採用します。
最悪計算量で考えるメリットは、

for文の場合はとにかく一番多くループする場合、if文の場合は一番ループする条件を考えればいいだけなので計算が楽
最悪計算量は、これ以上計算がかからない時間を保証するものなので、経験などに基づく推測などが不要

最初のfor文はn-1ステップ（これはわかりやすい）
つぎのfor文は、iの値によってループ回数が変わる、でも最悪のケースなのでnステップとする
2重for文の中にあるif文はすべて中を通ると仮定

します。すると、$ n^ - 2n + 1 $ ステップ*2となりますね。このように最悪のケースで計算量を求めるのは結構簡単なことがわかりますね。

(2) 平均計算量

しかし、最悪の計算量だけでは計算量の予測ができない場合もあります。例えば、「if文をほとんど通らないケース」や、「for文をほとんど回らない」場合は、最悪計算量でステップ数を求めると、実際の計算時間とはかなり異なった結果が出てしまいます。

最悪なパターンというものがまず起こらないようなアルゴリズム、例えば、クイックソートアルゴリズムはその典型的な例となります。クイックソートは、多くの場面においては理想的なソートアルゴリズムであり、その平均計算量のオーダー（計算量を予測したもの、下で紹介します）は、 $ O(n フィボナッチ数列の計算量について \log n) $ です。しかし、最悪のケースを想定してしまうと、$ O(n^ ) $ となってしまい、バブルソートなどの素朴なソート（人間が容易にできるソート）と一緒になってしまいます。

３．オーダーってなに…？

上のような単純なプログラムの場合は問題ないのですが、ステップ数が $ 3n + 5 $ ステップ、$ n^ + 6n + 3 $ ステップ、$ 4n^ フィボナッチ数列の計算量についてフィボナッチ数列の計算量について + 3n^ + 5n + 9 $ ステップのように複雑な関数になってくると比較がめんどくさくなってきますね。

そんなときに使われるのが オーダー記法 です。オーダー記法では、入力数 $ n $ が十分に大きいときのステップ数を大雑把に見積もることができます。オーダー表記では、

一番大きい項以外は無視（例：$ 4n^ + 3n^ + 5n + 9 $ は $ 4n^ $ と考える）
定数倍の違いは無視（例： $ 4n^ $ は $ n^ $ と考える）
計算結果をビックオー表記にする（例： 1と2の結果が $ n^ $ フィボナッチ数列の計算量についての場合は $ O(n^) $ ）

して考えます。nが十分に大きいときは、$ n^ $ の項は $ n^ フィボナッチ数列の計算量について $ の項に比べたら微々たる差ですよね。
理系の人は高校でこんな極限を習っていると思います（数3） \[ \lim_ \frac<3n^><4n^> = \lim_ \frac =0 \]
分母にある $ n^ $ の項のほうが分子の $ n^ $ の項に比べてはるかに大きいので極限は0となることがわかりますね。

また、 定数倍の違いは無視 します。$ 4n^ $ フィボナッチ数列の計算量についても $ n^ $ もデータの増え方は同じですよね。先ほどと同じように極限を取ると、\[ \lim_ \frac<4n^> = 4 \]とたかが4倍の違いであることがわかりますね。十分大きい数 $ n $ に比べたら4倍なんてちっぽけなものです。

1,2の結果をした結果、 $ 4n^ + 3n^ + 5n フィボナッチ数列の計算量について + 9 $ ステップのアルゴリズムは計算量が $ O(n^) $ のアルゴリズムと言うことができますね。
実際にオーダー表記の $ O(n^) $ とステップ数の $ 4n^ + 3n^ + 5n + 9 $ の極限をとってみると、\[ \lim_ \frac <4n^+ 3n^ + 5n + 9> = 4 \]とたかが4倍程度、つまり定数倍の違いしかないことがわかりますね。

４．項の強さ

※今回は、より結果が大きくなる方を「項が強い」と表記します。
オーダー表記にする際にどの項が強いのかを理解する必要があります。
例えば、$ n^ $ と $ n^ $ の場合は $ n^ $ のほうが大きいことはわかりやすいと思います。
しかし、$ n^ $、$ 2^ $ 、$ \log_2 n $ 、 $ n! $フィボナッチ数列の計算量について、 $ n^ $ のようにパッと見ただけでは少しわかりにくいものもあるかもしれません。
下に主なオーダーの強さの一覧をまとめてみたので参考にしてください。
細かい項の強さの比較や項の比較の仕方はこちらのブログにまとめました。

５．オーダー一覧とその解説

下の表は、$ n $ の値を変えたときに他の関数がどれくらいの値になるのかを示しています。
1秒間に1億ステップ (100,000,000) 実行できるものとして考え、1秒（1億ステップ）を超えてしまうものは計算にかかる時間を載せています。
参考までに、宇宙の年齢は約138億歳らしいです。

フィボナッチ数列の計算量について フィボナッチ数列の計算量について

\[\log n \]	\[\sqrt n \]	\[ n \]	\[n \log n \]	\[\ n^ \]	\[\ n^ \]	\[\ 2^ \]	\[\ n ! \]
3	3	5	15	25	125	32	120
4	4	10	40	100	1,000	1,024	3,628,800
5	5	20	100	400	8,000	1,048,576	772年
6	8	50	300	2,500	125,000	130日	9阿僧祇年
7	10	100	700	10,000	1,000,000	400兆年
8	15	200	1,フィボナッチ数列の計算量について 600	40,000	8,000,000
9	23	500	4,500	250,000	1秒
10	32	1,000	10,000	1,000,000	10秒
13	71	5,000	65,000	25,000,000	21分
14	100	10,000	140,000	100,000,000	3時間
16	224	50,000	800,000	25秒	14日
17	317	100,000	1,700,000	2分	116日
19	708	500,000	9,500,000	42分	39年
20	1,000	1,000,000	20,000,000	3時間	317年
23	2,237	5,000,000	115,000,000	3日	4万年
24	3,163	10,000,000	2秒	12日	32万年
27	10,000	100,000,000	27秒	3.2年	3.フィボナッチ数列の計算量について 2億年

$ O(n \log n) $ までなら、データ数が増えてもあまり処理時間が変わりませんよね。
下でも説明するのですが、高度なソートアルゴリズム $ O(n \log n) $ と素朴なソート $ O(n^) $ では $ n $ が小さいときには差が小さいですが、 $ n $ が大きくなればなるほど差がとんでもないことになるので、いかにオーダーの項を小さくするか（$ n^ $ を $ \log n $ にする以外にも）が良いアルゴリズムをつくるポイントの1つになりますよね。

組み合わせ爆発については、非常におもしろい動画があるので紹介したいと思います。
『フカシギの数え方』おねえさんといっしょ！みんなで数えてみよう！

いかに効率的なアルゴリズムを作るか が大切なのかをおねえさんが教えてくれます……

(1) O(1) 定数時間

データ数 $ n $ がどんな大きさであっても必ず同じステップ数で実行できるアルゴリズムです。
例えば、ハッシュ探索などがO(1)（定数時間）に値します。

(2) O(log n) 対数時間

データ数 $ n $ とステップ数が対数 log に比例するアルゴリズムです。
ここで、「なんで対数の底が省略されているの？」と思った人もいるかもしれません。
では $ \log_ フィボナッチ数列の計算量について n $ は $ \log_ n $ がどれほど違うのかを計算してみましょう。\[ \log_ n = \frac < \log_n> < \log_10> \]となり、$ \log _ n $ は $ \log_2 n $ と比べてたかが $ \frac < \log_10> $ 倍、つまり定数倍なので項の強さとしては同じことがわかりますね。対数の底がいくらだろうと項の強さが同じなのでオーダーで書く際には底を省略することが多いです。
対数時間のアルゴリズムの例としては、二分探索*4などがあります。
二分探索は、データ数が1億あったとしてもたったの27回でデータを見つけ出すことができるすごく優秀なアルゴリズムです。それくらい $ フィボナッチ数列の計算量について O(\log n) $ のアルゴリズムは優秀なアルゴリズムです。
再帰関数の場合は、下のように $ n $ の範囲が1/2ずつしぼられていくような関数が $ O(フィボナッチ数列の計算量についてフィボナッチ数列の計算量について フィボナッチ数列の計算量について \log n) $ 時間で終わるアルゴリズムとなります（再起関数の初期値は省略しています）。\[ f(n) = f(n/2) + 2 フィボナッチ数列の計算量について \]この再帰関数のステップ数は、以下の差分方程式（漸化式）を解くことで得られます。

(3) O(sqrt(n))

データ数 $ n $ が $ \sqrt $ に比例するアルゴリズムです。
$ O(\sqrt) $ となるアルゴリズムは例えばこのようなものがあります。

このように素数を判定する場合、$ \sqrt $ までを調べればよいのですが、これをフィボナッチ数列の計算量について n/2 や n までfor文をループさせてしまうと、$ O(n) $ のプログラムになってしまい、あまり良いアルゴリズムではなくなってしまいます。

(4) O(n) 定数時間

定数時間の名前の通り、データ数 $ n $ に比例してステップ数も $ n $ 倍になるアルゴリズムです。
for文によるn回（もしくはnに比例する回数、例えば3nとか）ループだけで処理が終わるアルゴリズムが該当します。

(5) O(n log n) 定数時間

$ O(n) $ 相当のループと $ O(\log n) $ 相当のループの2つが合わさっているアルゴリズムです。
マージソートやヒープソートなどの高速ソートアルゴリズムがこの $ O(\log n) $ に該当します。

(6) O(フィボナッチ数列の計算量について n 2 ) 二乗時間

$ O(n) $ 相当のforループを2重にしたようなアルゴリズム。
バブルソート、挿入ソートなどの素朴なソートアルゴリズムは $ O(n^) $ となります。

(7) O(2 n ) 指数時間

例えば、「$ n $ 個の部分集合のパターンを素直に全部列挙する」とか「$ n $ 品ある食堂メニューから1000円以内で買える組み合わせをすべて列挙する」など、素直にパターンを列挙するとこのような時間になります。

(8) O(n!) 階乗時間

今回紹介するオーダーの中で、一番計算時間がかかてしまうものです。
例えば、巡回セールスマン問題*5などはこの $ O(n!) $ に相当します。
$ n = 10 $ 程度のものであれば計算可能だが、10を超えてしまうともう使い物にならないアルゴリズムになってしまいます。
ちなみに、$ n! $ に比べたらたったの $ n $ 倍しか違わないので無視できるので、$ O((n-1)! $ のことを $ O(n!) $ と書く人もかなりいます。

６．さいごに

おねえさんに（効率の良いアルゴリズムを）教えてあげたい……

*2 : 実際にはオーダーで書くことが多いので、両方とも $ n $ ステップのforループで合計 $ n^ $ ステップとすることが多いです。

*3 : 厳密にいえば $ O(n^) $ など、階乗よりも強いものは存在するが、実際にそんなアルゴリズムが組まれることはほとんどないので今回は比較に入れていません。

*5 : 「あなたは $ n $ 個の都市を順番に1回ずつたどっていかなければなりません。そのパターンをすべて列挙し、最短の経路となるもの」のような問題のこと

【10分でわかる！】ビットコインFXでフィボナッチツールの基礎

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フィボナッチ数列は、黄金比にも関係しています。

ビットコインFXで使えるフィボナッチツール

おそらく、細かい数学的な歴史には興味がないといった方も多いはず。

フィボナッチ数列の計算量について

フィボナッチ・リトレースメント→戻り高値・押し目を予想
フィボナッチ・エクステンション→高値・安値を予想

フィボナッチ・リトレースメント

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安値(高値)にフィボナッチ・リトレースメントの起点を置く
高値(安値)にフィボナッチ・リトレースメントの終点を置く
次の安値(高値)をフィボナッチ％から予想

フィボナッチ・リトレースメントは、上昇トレンド発生中の押し目や下降トレンド発生中の戻り高値を予想する判断材料として活用できます。

フィボナッチ・エクステンション

bitcoinfx-fibonacci-3

フィボナッチ数列の計算量について

安値(高値)にフィボナッチ・エクステンションの起点を置く
高値(安値)にフィボナッチ・エクステンションの終点を置く
次の安値(高値)をフィボナッチ％から予想

フィボナッチ・エクステンションは、トレンドがどこまで伸びるのか？を予想する際に活用します。

ビットコインFXでフィボナッチツールを活用例

①上昇トレンドを見極め、調整の下落を待つ
②高値と安値が分かった段階で、フィボナッチ・リトレースメントを使う
③重要なフィボナッチ％で買いを検討

より実践的に覚える為に、ビットコインFXチャートから具体的な活用例をお届けします。

【ビットコインFX活用例】フィボナッチ・リトレースメント

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ビットコインFX4時間足を表示しました。

直近では、急落後に緩やかな上昇トレンドが発生しています。
やはり、直前では大きく下げており、買うなら割安な「押し目」で買いたい局面です。

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その後の値動きを追ってみると、陰線を付け下げ始めました。

bitcoinfx-fibonacci-7

在の上昇トレンドが始まった起点、そして高値を使いフィボナッチ・リトレースメントを当ててみましょう。

フィボナッチ・リトレースメントの0.786あるいは0.618が押し目となり、点線のような展開を予想します。

bitcoinfx-fibonacci-8

結果を見てみましょう。

フィボナッチ数列の計算の複雑さ

こちらのマトリックスフォームセクションを参照してください：en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number。この行列^ n（巧妙な方法で）を実行することにより、O（lg n）でFib（n）を計算できます。トリックは、べき関数を実行することです。この正確な問題とO（lg n）での解決方法について、iTunesUに関する非常に優れた講義があります。このコースはMIT講義3のアルゴリズムの紹介です（そのアブソリュートリーは無料です。興味があればチェックしてください）

あなたは計算に時間関数をモデル Fib(n) 計算するための時間の合計としてフィボナッチ数列の計算量について Fib(n-1) 計算するには、プラス時間 Fib(n-2) （一緒にそれらを追加するには、プラス時間 O(1) ）。これは、同じものを繰り返し評価する Fib(n) のに同じ時間がかかる、つまりメモを使用しないことを前提としています。

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1)

または、深さを持ち n 、この関数が漸近的になることを直感的に理解する再帰ツリーを描画することもできます。次に、帰納法によって推測を証明できます。 O(2 n )

想定、したがって、 T(n-1) = O(2 n-1 )

T(n) = T(n-1) + T(n-2) フィボナッチ数列の計算量について + O(1) に等しい

T(n) = O(2 n-1 ) + O(2 n-2 ) + O(1) = O(2 n )

ただし、コメントに記載されているように、これは厳しい制限ではありません。この機能についての興味深い事実は、T（n）が漸近的であることである同一の値として Fib(n) 、両方のように定義されているので

再帰ツリーの葉は常に1を返します。の値は Fib(n) 、再帰ツリーの葉によって返されるすべての値の合計で、葉の数と同じです。各葉は計算にO（1）を使用するため、 T(n) はに等しくなり Fib(n) x O(1) ます。したがって、この関数のタイトな境界はフィボナッチ数列自体（〜）です。上記で述べたように生成関数を使用することで、このタイトな境界を見つけることができます。 θ(1.6 n )

「あるいは、深さnを持つ再帰ツリーを描画して、この関数が漸近的にO（2n）であることを直感的に理解することができます。」-これは完全に誤りです。時間の複雑さはO（golden_ratio ^ n）です。O（2 ^ n）に近づくことはありません。無限に向かって手を伸ばせば、O（golden_ratio ^ n）に近くなります。すなわち、漸近線が何であるかである2つのライン間の距離は0に接近しなければならない

以下の場合 F(1) 、答えは 1 （条件付きの最初の部分）。

以下の場合 F(n) フィボナッチ数列の計算量について、答えはあります F(n-1) + F(n-2) 。

それでは、どの関数がこれらのルールを満たしていますか？a n （a> 1）を試してください：

a n == a （n-1） + a （n-2）

解決する a と (1+sqrt(5))フィボナッチ数列の計算量について /2 = 1.6180339887 、黄金比とも呼ばれます。

まず、N番目のフィボナッチ数を計算するときに、再帰的なフィボナッチ関数（F（）が今後何回呼び出されるか）を把握することがすべてです。0からnのシーケンスで数値ごとに1回呼び出されると、O（n）が得られ、数値ごとにn回呼び出されると、O（n * n）、またはO（n ^ 2）が得られます。等々。

F（0）が32回呼び出されることがわかります。これは2 ^ 5です。このサンプルケースでは2 ^（n-1）です。

すべての*をF（6）行からF（2）行にF（1）行に精神的に移動すると、F（1）行とF（0）行の長さが等しくなっていることがわかります。つまり、n = 6が2x32 = 64 = 2 ^ 6の場合、F（）の合計時間が呼び出されます。

@QuaziIrfan：Dそれは矢です。-> [（以上）。最後の行に関して混乱して申し訳ありません]。最初の行については、まあ. T(フィボナッチ数列の計算量について n-1) > T(n-2) だから私は変更 T(n-2) して置くことができます T(n-1) 。私はまだ有効な上限のみを取得します T(n-1) + T(n-2)

2^(n/2) （他のコメントに記載されているように）下限は2 ^ n、上限は2 フィボナッチ数列の計算量についてフィボナッチ数列の計算量について ^ nです。そして、その再帰的な実装の興味深い事実は、Fib（n）自体の厳密な漸近的境界があることです。これらの事実は要約することができます：

すぐに飛び出すのは、葉ノードの数がであることです fib(n) 。さらにいくつかの反復に気づいたのは、内部ノードの数がであることです fib(n) - 1 。したがって、ノードの総数は 2 * fib(n) - 1 です。

計算の複雑さを分類するときに係数を削除するため、最終的な答えは θ(fib(n)) です。

注いくつかの（ほとんど）再帰的な実装では、追加の時間を過ごすこと 0 フィボナッチ数列の計算量について フィボナッチ数列の計算量についてが、：再帰ベースケースがある 0 と 1 彼らが行うので、 Fib(n-1) + Fib(n-2) 。だから、おそらくフィボナッチ数列の計算量について フィボナッチ数列の計算量について 3 * Fib(n) - 2 から、このリンク-唯一の答えは、全ノード数のため、より正確ではありません 2 * Fib(n) - 1 。

葉ノードで同じ結果を得ることができません。0から開始：F（0）-> 1リーフ（それ自体）; F（1）-> 1リーフ（それ自体）; F（2）-> 2リーフ（F（1）およびF（0））; F（3）-> 3リーフ; F（5）-> 8葉; など

再帰アルゴリズムの時間の複雑さは、再帰ツリーを描画することでより適切に推定できます。この場合、再帰ツリーを描画するための再帰関係はT（n）= T（n-1）+ T（n-2）+ O（1）になります。各ステップは、一定の時間を意味するO（1）を使用します。これは、ブロックの場合、nの値をチェックするための比較は1つだけなので、再帰ツリーは次のようになります。

特定のiの値でツリーが終了するとしましょう。その場合、ni = 1、つまりi = n-1の場合になり、ツリーの高さがn-1になります。ここで、ツリー内のn個のレイヤーのそれぞれについてどれだけの作業が行われたかを確認します。再帰関係で述べたように、各ステップにはO（1）時間かかることに注意してください。

したがって、行われた総作業量は、各レベルで行われた作業の合計になります。したがって、i = n-1なので、2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 2 フィボナッチ数列の計算量について + 2 ^ 3 . + 2 ^（n-1）になります。幾何級数では、この合計は2 ^ nなので、ここでの合計時間の複雑さはO（2 ^ n）です。

フィボナッチ数列（読み）ふぃぼなっちすうれつ

初項と第2項を1とし、第3項以後次々に前2項の和をとって得られる数列。つまり、
a₁＝1, a₂＝1, a_n＋1＝a_n＋a_n-1
(n＝2, 3, 4,……)
で表され、 フィボナッチ数列の計算量について
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,……
という数列となる。これはフィボナッチが『算術の書』（1202）のなかで、次のような問題として提起したものである。「一つがいのウサギは、生まれて2か月後から、毎月一つがいの子供を産むとする。初めの生まれたての一つがいがいるとき、1か月後、2か月後、……のウサギのつがいの総数を求めよ」。

フィボナッチ数列の相隣る項の比をとってできる数列a₂/a₁, a₃/a₂,……つまり、
1, 2, 5/3, 8/5,……
は、無限連分数

を途中で打ち切って得られる分数の列である。この分数列は（1＋）／2 に収束する。この極限値は、黄金比（黄金分割の比）として、古来、重要視された数である。a_nは、

と表すことができる。

占い用語集「フィボナッチ数列」の解説

フィボナッチ数列

「フィボナッチ」は１２～１３世紀に実在したイタリアの数学者のこと。数列は、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657. となり、どの項も、その前の2つの項の和となる。「フィボナッチ数列」は自然界に数多く存在し、例として「花の花弁の枚数が3枚、５枚、８枚、１３枚のものが多い」・「ひまわりの種は螺旋状に２１個、３４個、５５個、８９個・・・と並ぶ。」などが挙げられる。

デジタル大辞泉フィボナッチ数列の計算量について「フィボナッチ数列」の解説

フィボナッチ‐すうれつ【フィボナッチ数列】

《 Fibonacci numbers 》数学で、最初の二項が1で、第三項以降の項がすべて直前の二項の和になっている数列。すなわち、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…という数列のこと。イタリアの数学者レオナルド＝フィボナッチの名にちなむ。

世界大百科事典内のフィボナッチ数列の言及

【黄金分割】より

…正五角形の同じ頂点を通らない2本の対角線は互いに他を黄金分割する(図3)。1,1よりはじめて順次に前の2項の和をつくることによって得られる数列フィボナッチ数列の計算量について 1,1,2,3,5,8,13，……をフィボナッチ数列というが，この数列より相隣る2項の比をつくることによって得られる分数の数列 1/1，1/2，2/3，3/5，5/8，8/13，……は黄金比に近づく。黄金比は連分数により次のように表される。…

【C言語】関数の再帰呼び出し【階乗，順列，組み合わせ，フィボナッチ数列，アッカーマン関数】

こういった悩みにお答えします．こういった私から学べます．目次1 ユークリッドの互除法2 C言語のユークリッドの互除法で最大公約数と最小公倍数の計算3 拡張ユークリッドの互除法4 拡張ユークリッドの .

関数の再帰呼び出しで階乗の計算

階乗を計算する$a_n = n!\ (n \geq 0)$は，以下の漸化式で表すことができます．

\begin a_n = \begin a_0 = 1 & (n = 0) \\ a_n = n * a_ & (n \geq 1) \end \end

関数の再帰呼び出しで順列の計算

順列の計算式$<>_n \mathrm_r (n \geq r)$は以下になります．

$$<>_n \mathrm_r フィボナッチ数列の計算量について = n * (n - 1) * (n - 2) * \ldots * (n - r + 1) = \frac$$

3行目の行末に5と3を入力したら，$<>_5 \mathrm_3 = 60$と正しく計算できていることがわかります．

関数の再帰呼び出しで組み合わせの計算

組み合わせの計算式$<>_n \mathrm_r (n \geq r)$は以下になります．

3行目の行末に5と3を入力したら，$<>_5 \mathrm_3 = 10$と正しく計算できていることがわかります．

関数の再帰呼び出しでフィボナッチ数列の計算

関数の再帰呼び出しでアッカーマン関数の計算

C言語順列と組み合わせ全通り表示

【C/C++言語】順列と組み合わせを全通り表示

こういった悩みにお答えします．こういった私から学べます． C/C++言語で順列と組み合わせを全通り表示する方法を紹介します．順列と組み合わせの個数を計算する方法を知りたいあなたは，関数の再帰呼び出 .

C言語プログラミングスクール

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こういった悩みにお答えします．本記事の内容：おすすめのC言語を学べるオンラインプログラミングスクール5社 SAMURAI ENGINEER（侍エンジニア） Tech Teacher KENスクール .

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元東大教員/アメリカ企業CEO兼CTO

2019年12月まで東京大学教員．
2020年1月から現在までアメリカのノースカロライナ州チャペルヒルにあるGuarantee Happiness LLC CTO．
2022年6月から現在までアメリカのノースカロライナ州チャペルヒルにあるJapanese フィボナッチ数列の計算量についてフィボナッチ数列の計算量について Tar Heel, Inc. CEO兼CTO．

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